L'étude · 26 août 2022

Peut-on trouver une règle pour payer le moins de frais possible ?

Minimisation des coûts de retrait sur MonCash par l'application d'un simple modèle de décomposition récurrente (partie I), par Lucainson Raymond.

Oui : découper chaque opération en plusieurs montants choisis selon les paliers de frais.

L'article formalise ce découpage pour le retrait et annonce une interface web pour la partie II. Ce site est cette interface.

D'où vient la question

Le 21 juillet 2022, l'auteur dispose de 5 165 HTG sur son compte. Retirer tout en une fois lui coûterait 171 HTG de frais, avec la grille de l'époque. L'agent n'a que 2 000 HTG de liquidité et lui conseille de retirer 1 990 HTG plutôt que 2 000 : la gourde qui fait passer de 1 999 à 2 000 HTG coûtait à elle seule 45 HTG.

En découpant en 3 990 + 990 + 50 HTG, il retire 5 030 HTG pour 135 HTG de frais au lieu de 4 994 HTG pour 171. Avec la grille de juin 2024, le même solde donne 4 980 HTG en un retrait et 5 004 HTG avec le meilleur découpage.

Le modèle de l'article

Les montants retirables sont répartis en tranches qui ne se chevauchent pas, chacune avec un coût unique. Le coût est donc une fonction en escalier : constant dans une tranche, il saute au passage à la suivante.

Proposition 1. Le coût marginal à l'intérieur d'une tranche est inférieur ou égal au coût marginal du saut entre deux tranches.

Proposition 2. L'utilisateur cherche la décomposition du montant z_k qui minimise le coût total, en deux ou trois sous-montants :

z_k = ψ₁·z_k−f₁(u) + ψ₂·z_{k−i−f₂(u)} + ψ₃·z_k−i−j avec 1 < ψ₁ + ψ₂ + ψ₃ ≤ 3

Chaque ψ_i est un entier qui compte combien de fois un sous-montant est retiré. L'article prévoyait de résoudre le problème par simulation numérique.

Ce que ce site ajoute

La grille actuelle. Les frais MonCash en vigueur depuis le 10 juin 2024, et non ceux de 2022.
Un découpage exactement optimal. Il existe toujours un découpage optimal où tous les sous-montants sauf un sont tout en haut de leur tranche. Le site le démontre, puis calcule une fois pour toutes, par programmation dynamique, le coût minimal de chaque somme de « hauts de tranche ». Le résultat est vérifié contre une recherche exhaustive.
Toutes les étapes. Le découpage s'applique à l'envoi comme au retrait, et le calcul suit l'argent de l'expéditeur jusqu'aux espèces en main.
Le cas Sogebank. Ce que coûte un virement de son compte Sogebank vers MonCash suivi d'un retrait, comparé au retrait gratuit à la banque.

Les limites

Les grilles changent : celle de MonCash date du 10 juin 2024, celle de la Sogebank de mars 2026.
L'agent doit avoir assez d'espèces et accepter plusieurs opérations.
Le temps de déplacement et d'attente n'est pas compté.
La TCA sur la commission Sogebank n'est pas tranchée par la grille de la banque : elle reste une option.

Référence